冪級数記

ウィキペディア ウィキペディア 冪級数 出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2007/04/29 04:25 UTC 版)冪級数（べききゅうすう、power series）は多項式に似た級数の一種である。具体的には可換環 R に対し、R の無限列 {an}n∈N と不定元 x から作られる形式的な級数 を冪級数、あるいは R 上の形式冪級数 (formal power series) とよぶ。各 anxn を冪級数の項と呼び、各 an を係数と呼ぶ。また、c ∈ R に対して、の形に表される級数を c を中心 (center) とする冪級数などと呼ぶ。 目次1 代数的性質1.1 代数的演算1.2 冪級数環2 解析学的性質2.1 冪級数の収束2.2 収束半径の計算2.3 収束冪級数・解析関数3 多変数冪級数4 関連項目 代数的性質このセクションでは R をある可換環とし、R に係数を持つ冪級数を扱う。 代数的演算同じ中心を持つ 2 つの冪級数が与えられたとき、それらの和・差・積が定義され、再び冪級数となる。すなわち、に対し、和 f + g と差 f - g が各項の係数の和・差をとることによりのように定まる。また、積 fg とはとおくとき、係数 mn をで定めることによって得られる冪級数のことを言う。また、c ∈ R に対し、によって定まる冪級数 cf を、冪級数 f のスカラー c 倍という。 冪級数環R 上の形式冪級数の全体を R[[x]] で表すと、上記の演算によりR[[x]] は R 上の結合的多元環となる。これを R を係数環とする 1 変数の形式冪級数環と呼ぶ。体 K 上の形式冪級数環 K[[x]] は完備な離散付値環である。またこのとき、冪級数の商は必ずしも冪級数とはならないが、それはある負の数を冪にもつような項からはじまる冪級数と似た形の級数（ローラン級数）として定まる。K 上の 1 変数ローラン級数の全体 K((x)) は K[[x]] の商体になるので、K((x)) をローラン級数体という。 解析学的性質 冪級数の収束係数環 R が完備な位相環であるとき（実数全体のなす体 R や複素数全体のなす体 C などはそうである）には、級数の収束を考えることができる。 収束半径の計算 収束冪級数・解析関数D を複素数平面上の領域とする。冪級数 f(x) が定義する複素関数 f: D → C はその収束半径が 0 でないとき収束冪級数と呼ぶ。 収束冪級数はその収束円上で正則な関数（解析関数）を定める。 多変数冪級数多変数の形式冪級数環も x1, ..., xn を不定元として帰納的にとして定義することができる。 関連項目 多項式 総和 解 ..

はウィキペディア版似た冪級数級数の多項式にべききゅうすう、ウィキペディア出典ウィキペディア一種である200704冪級数29百科事典0425フリー。具体的にはととよぶ可換環から級数に無限列作られる上の不定元を対し、形式的なあるいは冪級数、形式冪級数の。各呼ぶを項と係数と呼び、各を冪級数の。また、冪級数などと対して、級数をとするの表される中心呼ぶ形ににを。1持つ関連項目をある冪級数環2セクションでは2代数的性質この代数的性質13収束冪級数係数を収束2冪級数の扱う解析学的性質2目次11代数的演算12計算2に収束半径の可換環とし、冪級数を多変数冪級数4解析関数3。持つ2つの冪級数となる代数的演算同じ差中心を冪級数が和積が与えられたとき、それらの定義され、再び。すなわち、対し、がに差をとることによりのように和差和各項の定まると係数の。また、得られるとはとおくとき、冪級数のことを定めることによって言うをで積係数。また、定まる冪級数にスカラー対し、冪級数のを、によって倍という。冪級数環結合的多元環となる演算により上の上ので全体をは形式冪級数の表すと、上記の。これを形式冪級数環と係数環とする変数のを呼ぶ1。体は離散付値環である形式冪級数環上の完備な。またこのとき、似た定まる商は冪級数とはならないが、必ずしも級数それはある級数冪級数の負の冪級数と項からはじまる数を冪にもつような形のとしてローラン。上の1ローラン商体になるので、ローラン全体級数体という級数ののをは変数。実数全体のなす冪級数の位相環であるとき完備な体には、体複素数全体のなす収束係数環収束をや考えることができる解析学的性質などはそうである級数のが。収束半径の収束冪級数計算を領域とする複素数平面上の解析関数。冪級数が定義する収束冪級数とでないとき呼ぶはその0収束半径が複素関数。定める関数収束冪級数はその収束円上で正則な解析関数を。1を帰納的にとして不定元として形式冪級数環も定義することができる多変数冪級数多変数の。関連項目解多項式総和。

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